基础乐理学习笔记

小时候学习钢琴的时候，老师和我说理论上是要给你们讲乐理以及练听音之类的，但是现在考级也不会很认真考这些，所以就无所谓吧。现在打音游之后，时不时会遇到一些乐理名词，于是求知欲莫名其妙被勾起来了，所以现在来学习一些。

音乐理论似乎和自然语言语法一样，是一个混杂有大量经验规则的所谓“理论”，不遵从并不会带来什么问题，无非是大家是否接受。然而鉴于当下大部分音乐都基于音乐理论构建，那还是稍微学习一点至少能和大家使用同一套名词系统交流而不至于存在过高门槛。

律式

人耳可以感知的声音频谱是连续的，而实际上的音乐创作也不太可能基于连续的频谱，现实中我们往往会挑选出若干特定频率的声音供创作者选择，而这种选择的方式就称为律式。十二平均律则是当下最主流的律式。

十二平均律从标准音开始，定义标准音的频率为 440 赫兹。定义升高八度（Octave）为频率翻倍，降低八度为频率减半，这样整个频谱就以标准音为基准，划分为了若干个八度区间。在一个八度区间内，则将频谱进一步按照等比数列的方式划分为 12 个半音（Semitone/Half-step），每两个相邻半音的频率之比为 \(\sqrt[12]{2}\)。这些半音，就是十二平均律下选定的特定频率。

为了后续讨论方便，这些半音都有各自的音名，音名与声音的频率有严格的对应关系。本文中，将十二平均律的标准音（440 赫兹）记为 A4，音名结尾的数字表示所属的八度区间编号，也就是说标准音升高八度（880 赫兹）为 A5，降低八度（220 赫兹）为 A3。以后如果不涉及到需要指明八度区间编号的，则可以省略音名结尾的数字。

一个八度区间内各个半音的音名则遵守惯例，自 A 起，使用 BCDEFG 共计七个字母自低到高标记十二个半音中所选定的七个特殊半音。这七个半音并非均匀排列，其中 BC 与 EF 相差一个半音，而其他则相差两个半音（也称为一个全音（Tone/Whole-step））：

音名	频率
A	\(f\)
B	\(2^{\frac{2}{12}}f\)
C	\(2^{\frac{3}{12}}f\)
D	\(2^{\frac{5}{12}}f\)
E	\(2^{\frac{7}{12}}f\)
F	\(2^{\frac{8}{12}}f\)
G	\(2^{\frac{10}{12}}f\)

其他的半音，则通过这七个特殊半音通过升降记号给出。升号为 #（Sharp），表示升高一个半音，降号为 b（Flat），表示降低一个半音。以 A3 到 A4 的八度区间为例，其中的十二个半音分别记为：

A3 - A3#/B3b - B3 - B3#/C3 - C3#/D3b - D3 - D3#/E3b - E3 - E3#/F3 - F3#/G3b - G3 - G3#/A4b - A4

可以注意到某些半音可以用多种记号表示。

在一般的 88 键钢琴上，最低音为 A0，最高音为 C8，每一个琴键代表一个半音，所有的白键都（可以）不带升降号表出，所有的黑键则都需要用升降号表出。钢琴中的中央 C（Middle C）一般指 C3，从而其频率为 \(440 \times 2^{-\frac{9}{12}} = 261.626 {\rm Hz}\)。

从历史上说，十二平均律实际上出现得较晚，这是因为该律式中频率比例为无理数，古代无论是东方还是西方都难以据此准确加工管弦乐器（即确定管长或者弦长）。因此在十二平均律前，古代往往依赖已经成熟的等分管长或者弦长的技术构造律式，其中的代表就是五度相生律。五度相生律实际上是十二平均律的前驱，后者的很多惯例均来自于前者：

音名	频率
C	\(f\)
D	\(\dfrac{9}{8}f\)
E	\(\dfrac{81}{64}f\)
F	\(\dfrac{4}{3}f\)
G	\(\dfrac{3}{2}f\)
A	\(\dfrac{27}{16}f\)
B	\(\dfrac{243}{128}f\)

在五度相生律中，BC 与 EF 之间的频率比值为 \(\dfrac{256}{243}\)，而其他相邻音之间的频率比值为 \(\dfrac{9}{8}\)，由于 \(\dfrac{256}{243}\approx\sqrt[12]{2}\)，并且 \(\dfrac{9}{8}\approx\sqrt[6]{2}\)，这就表明了五度相生律中的七个音实际上与十二平均律中的七个特殊半音能够大致对应，而这也是十二平均律中选取这七个半音的理由。并且，正是因为五度相生律在 \(f\sim 2f\) 的频率区间内选定了七个音，所以这样的一个频谱区间才会被称为八度。

此外我们大致有 \(\left(\dfrac{256}{243}\right)^2\approx\dfrac{9}{8}\)，也就是说五度相生律上也已经定义出了全音和半音的概念，也就是 BC 与 EF 相差一个半音，其余相差一个全音，一个全音大致是两个半音。全音与半音的不完全精确对应就是五度相生律的缺陷之一，这导致如果需要在 CD 之间再插入一个半音会出现两种选择，势必导致 C# 与 Db 等升降音不同。

除了五度相生律，由于人们也发现频率比值的分子分母如果能较小（如 \(\dfrac32, \dfrac43\)），那么这两个音同时演奏就相对和谐。这个发现推动了纯律的出现，其把五度相生律中分子分母较大的音改制为接近的小分子分母数：

音名	频率
C	\(f\)
D	\(\dfrac{9}{8}f\)
E	\(\dfrac{5}{4}f\)
F	\(\dfrac{4}{3}f\)
G	\(\dfrac{3}{2}f\)
A	\(\dfrac{5}{3}f\)
B	\(\dfrac{15}{8}f\)

然而纯律虽然满足了和谐的优点，但是纯律下的全音就有了大小之分（CD 与 DE 的频率比值不同），从而使得编曲更为困难，因此纯律也逐步被淘汰了。

需要注意的是，大部分律式均认同八度区间内（\(f\sim 2f\) 频率区间内）划分出 CDEFGAB 七个半音，其中 BC 与 EF 相差一个半音，其余相差两个半音（一个全音）。

音程

在给定了律式的基础上，我们需要建立一套用于讨论两个半音之间音高差距的名词，而这就是所谓的音程（Interval）。以简化讨论，我们现在仅考虑一个八度区间内的半音之间的音程。音程最基本的衡量单位为度，这个是基于音名字母之间差距的（或者理解钢琴白键的差距或者五线谱上的差距）：

• A-A/B-B/C-C/D-D/E-E/F-F/G-G：一度（Unison）
• A-B/B-C/C-D/D-E/E-F/F-G/G-A'：二度（Second）
• A-C/B-D/C-E/D-F/E-G/F-A'/G-B'：三度（Third）
• A-D/B-E/C-F/D-G/E-A'/F-B'/G-C'：四度（Forth）
• A-E/B-F/C-G/D-A'/E-B'/F-C'/G-D'：五度（Fifth）
• A-F/B-G/C-A'/D-B'/E-C'/F-D'/G-E'：六度（Sixth）
• A-G/B-A'/C-B'/D-C'/E-D'/F-E'/G-F'：七度（Seventh）
• A-A'/B-B'/C-C'/D-D'/E-E'/F-F'/G-G'：八度（Octave）

这里音名上加撇号表示升高八度，本文后续也会使用该记号。

然而我们需要注意的是，由于 BC 与 EF 之间相距的是一个半音，所以即使度数相同，相距的半音数目也并不一样。为了在相同度数下区分不同的半音数，我们需要不同的前缀。一般而言常用的前缀包括大（Major）、小（Minor）、纯（Perfect）、增（Augmented/aug.）、减（Diminished/dim.）、倍增（Double aug.）、倍减（Double dim.）。这些前缀的使用可以归结为下表：

半音数	一度	二度	三度	四度	五度	六度	七度	八度
0	纯一度	减二度
1	增一度	小二度	倍减三度
2	倍增一度	大二度	减三度
3		增二度	小三度	倍减四度
4		倍增二度	大三度	减四度
5			增三度	纯四度	倍减五度
6			倍增三度	增四度	减五度	倍减六度
7				倍增四度	纯五度	减六度
8					增五度	小六度	倍减七度
9					倍增五度	大六度	减七度
10						增六度	小七度	倍减八度
11						倍增六度	大七度	减八度
12							增七度	纯八度
13							倍增七度	增八度
14								倍增八度

对一、四、五、八度而言前缀的顺序是倍减-减-纯-增-倍增，而对二、三、六、七度而言前缀的顺序是倍减-减-小-大-增-倍增。而半音数目为 6 的音程一般也称为三全音（Tritone）。

一、四、五、八使用纯作为前缀而其他使用大小作为前缀本质也是来源于五度相生律。以四度为例，五度相生律中的四度除了 F-B' 均是包含五个半音的，它们的频率比值均为 \(\left(\dfrac{9}{8}\right)^2\times\dfrac{256}{243} = \dfrac{4}{3}\)，是一个小分子分母数，这说明了这种音程相对而言听感较为和谐，而 F-B' 代表的增四度的频率比值则为 \(\left(\dfrac{9}{8}\right)^3 = \dfrac{729}{512}\)，相对而言极其不和谐。另一方面，减四度的频率比值也是大分子分母数。五度也类似，纯五度的频率比值为 \(\dfrac{3}{2}\)。

再考虑三度，大三度的频率比值为 \(\dfrac{81}{64}\)，小三度的频率比值为 \(\dfrac{32}{27}\)，减三度则分子分母相对大。

据此可见，纯音程实际上是相当和谐的音程，无论如何增减半音都会导致不和谐。而大小音程相对而言听感相近，只有对小音程再减半音或者对大音程再增半音才会得到不和谐音程。因此，一、四、五、八度会对最为和谐的音程使用纯作为前缀，其余则将和谐感相近的两个音程分别命名为大小。

在十二平均律下音程的和谐程度大概可以如下排列：

• （极和谐）纯一度、纯八度（零、十二）
• （完全和谐）纯四度、纯五度（五、七）
• （不完全和谐）大小三度、大小六度（三、四、八、九）
• （不和谐）大二度、小七度、三全音（二、六、十）
• （极不和谐）小二度、大七度（一、十一）

初学者可能认为减二度和纯一度等音程组是一致的，这是因为十二平均律掩盖了半音的区分。具体而言，所有律式中 BC 与 EF 之间所相差的半音称为自然半音（Diatonic semitone），而通过进一步分割，得到的 CC# 之间所相差的半音则称为变化半音（Chromatic semitone）。十二平均律下自然半音与变化半音没有区别，统称半音。然而在纯律之类的其他律式下，自然半音与变化半音并不一致。

所以 B-C 和 Cb-C 分别是小二度和增一度，在十二平均律下是一致的，然而在其他律式下这个相差的半音一个是自然半音一个是变化半音，是有所区别的。

音程转位

将一个音程中低音升高一个八度或者高音降低一个八度称为转位（Inversion）。转位前后的音程度数之和为九，类型上发生大小互换、增减互换、倍增倍减互换、纯不变。例如：

• 纯一度与纯八度
• 大二度与小七度
• 增四度与减五度（均为三全音）
• 倍增三度与倍减六度

音阶

音阶（Scale）可以理解为一系列持续走高或者走低的半音。一般而言，音阶是每一个八度一次循环的。本文主要讨论西洋音乐中常见的七声音阶，古代中国所使用的五声音阶以及由其衍生的七声音阶则暂不讨论，后续如果不需要区分则直接使用音阶称呼西洋七声音阶。

音阶的一个循环节的构成为，选定某一个起始音作为音阶的主音（Tonic），之后按照顺序循环遍历各个音名（例如由 C 开始以 C-D-E-F-G-A-B 的顺序遍历）。在这个基础上，可以通过对各个音作升降变音（同一个音阶中一般要么同时升某些音要么同时某些降某些音，不会同时使用升音和降音），调整音阶相邻两个音之间的音程。而这音阶循环节中七个音之间的音程则决定了音阶的调式：

• 自然大调（Major）：全全半全全全半（例如：C-D-E-F-G-A-B）
• 多利安调式（Dorian）：全半全全全半全（例如：D-E-F-G-A-B-C）
• 弗利吉安调式（Phrygian）：半全全全半全全（例如：E-F-G-A-B-C-D）
• 利地安调式（Lydian）：全全全半全全半（例如：F-G-A-B-C-D-E）
• 混合利地安调式（Mixolydian）：全全半全全半全（例如：G-A-B-C-D-E-F）
• 自然小调（Minor）：全半全全半全全（例如：A-B-C-D-E-F-G）
• 洛克利安调式（Locrian）：半全全半全全全（例如：B-C-D-E-F-G-A）

以 C 为主音的，遵循自然大调音阶格式的音阶即称为 C 大调音阶。事实上，我们可以通过枚举主音来枚举所有的大小调音阶：

大调主音	小调主音	大调循环节	升降数目
Ab	F	Ab-Bb-C-Db-Eb-F-G	-4
A	F#	A-B-C#-D-E-F#-G#	+3
Bb	G	Bb-C-D-Eb-F-G-A	-2
B Cb	G# Ab	B-C#-D#-E-F#-G#-A# Cb(B)-Db-Eb-Fb(E)-Ab-Bb	+5 -7
C	A	C-D-E-F-G-A-B	0
C# Db	A# Bb	C#-D#-E#(F)-F#-G#-A#-B#(C) Db-Eb-F-Gb-Ab-Bb-C	+7 -5
D	B	D-E-F#-G-A-B-C#	+2
Eb	C	Eb-F-G-Ab-Bb-C-D	-3
E	C#	E-F#-G#-A-B-C#-D#	+4
F	D	F-G-A-Bb-C-D-E	-1
F# Gb	D# Eb	F#-G#-A#-B-C#-D#-E#(F) Gb-Ab-Bb-Cb(B)-Db-Eb-F	+6 -6
G	E	G-A-B-C-D-E-F#	+1

我们无法构造升 A 大调而只能构造降 B 大调的原因是，在 A# 作为主音时，我们无法仅仅通过升某些音的方式构造满足大调格式的音阶。而升 C 大调和降 D 大调则可以同时构造。

此外我们其实可以注意到，任何一个自然大调音阶总是可以找到一个使用同样半音序列但是主音不一样的自然小调音阶，反之亦然，如 C 大调音阶与 a 小调音阶。这种对应关系称为关系大（小）调，小调主音总在大调主音下方一个小三度。

当然除此外还有其他的音阶形式，例如旋律大小调和和声大小调，这里暂且不介绍。

和弦

和弦（Chord）指的是多个音叠加形成的复合音。在传统定义中，一个和弦中相邻的音之间的音程均是三度（多为大小三度），然而现在以非三度形式堆叠的和弦也不少见。在以三度堆叠的和弦中，自最低音开始，各个音分别称为根音（Root）、三音（Third）、五音（Fifth）、七音（Seventh）等，而堆叠数目为三、四、五的和弦分别称为三和弦（Triads）、七和弦（Sevenths）、九和弦（Ninths）。

如果一个和弦所堆叠的几个音能同时属于某一个音阶，则称这个和弦符合这个音阶代表的调性。

和弦一般根据相邻音之间的三度的类别作更细的分类。例如三和弦可以分为（以 C 大调三和弦为例）：

• 大三和弦（Major triads）：大三度 + 小三度（CEG、FAC、GBD）
• 小三和弦（Minor triads）：小三度 + 大三度（DFA、EGA、ACE）
• 增三和弦（Augmented triads）：大三度 + 大三度（大调中无该例子）
• 减三和弦（Diminished triads）：小三度 + 小三度（BDF）

和弦的记号一般是首先注明根音，然后再用后缀注明和弦类别，后缀的写法不唯一，下述是常见的几种写法：

• 大三和弦：maj，M
• 小三和弦：min，m，-
• 增三和弦：aug，+
• 减三和弦：dim，o

例如 C3 maj 就代表以中央 C 为根音的大三和弦。

对三和弦而言，如果该和弦符合大调调性，则实际上我们只要注明根音在音阶中的位置即可确认其类别：

• 根音为第一、四、五音：大三和弦（I maj、IV maj、V maj）
• 根音为第二、三、六音：小三和弦（II min、III min、VI min）
• 根音为第七音：减三和弦（VII dim）

自七和弦开始，和弦种类会变得相对复杂，所以这里开始我们仅仅探讨会在大调中出现的和弦：

• 大七和弦（Major sevenths）：大三度 + 小三度 + 大三度（大三和弦 + 大三度）
• 小七和弦（Minor sevenths）：小三度 + 大三度 + 小三度（小三和弦 + 小三度）
• 属七和弦（Dominant sevenths）：大三度 + 小三度 + 小三度（大三和弦 + 小三度）
• 半减七和弦（Half-diminished sevenths）：小三度 + 小三度 + 大三度（减三和弦 + 大三度）

这些和弦的后缀常见为：

• 大七和弦：maj7，M7，MM7
• 小七和弦：min7，m7，mm7，-7
• 属七和弦：7，Mm7
• 半减七和弦：-7(b5)，m7(b5)

大调上的七和弦可以归类为：

• 根音为第一、四音：大七和弦（I maj7、IV maj7）
• 根音为第二、三、六音：小七和弦（II-7、III-7、VI-7）
• 根音为第五音：属七和弦（V7）
• 根音为第七音：半减七和弦（VII-7(b5)）