2023 CMO Day2 P5 几何试题解答

本来应该干活的，结果发现 CMO 题出来了，无聊就来做了一下。

Problem

已知锐角三角形 \(\triangle ABC\)，在 \(BC\) 延长线上有点 \(K\)，过 \(K\) 分别作 \(AB, AC\) 的平行线 \(KP, KQ\) 令 \(BK = BP, CK = CQ\)。\(\triangle KPQ\) 的外接圆与 \(AK\) 相较于点 \(T\)。证明：

1. \(\angle BTC + \angle APB = \angle CQA\)
2. \(AP\cdot BT\cdot CQ = AQ\cdot CT\cdot BP\)

Analysis & Solution

总之先画图：

总之立刻从 \(P, Q\) 是对应点发现，第一个要证明的角度关系应该改写为 \(\angle BTC = \angle CQA - \angle APB\)。之后，很显然就要去想如何去转化 \(\angle CQA\)。这里有个初中数学就知道的东西，等腰三角形 \(CQK\)，然后还有 \(CA \parallel QK\)，很快就有 \(CA\) 平分 \(\angle BCQ\)。这个平分有个相当大的作用，就是我可以把 \(Q\) 给对称下来了，同理 \(P\) 也可以：

然后这里就得到了 \(\angle CQA - \angle APB = \angle CDA - \angle AEB = \angle DAE\)，我们要证明的关系就从三个角变成了两个角。再来考虑 \(D, E\) 的特点，不难根据刚刚的相等发现 \(B\) 是 \(KE\) 的中点，\(C\) 是 \(KD\) 的中点，那么这么多中点其实就给了我们把 \(\angle DAE\) “拉到”图形里面的一个思路。找 \(KA\) 的中点 \(M\)，立刻就有 \(\angle DAE = \angle BMC\)。这个时候我们要证明的，其实就是 \(B, C, T, M\) 四点共圆：

到这一步，找这个共圆就几乎不能走角度的路线了，因为好用的好描述的角基本都用完了，所以该去找线段关系了，显然我们要用圆幂定理，不难发现我们应该尝试去证明 \(KM\cdot KT = KB\cdot KC\)，也就是 \(KA\cdot KT = 2KB\cdot KC\)。比较麻烦的是 \(KT\)，因为这条线段最难描述。然而思考 \(T\) 的成因，不难发现 \(AK\) 是 \(\triangle KPQ\) 的外接圆的截线，其实可以先在 \(\triangle KPQ\) 的外接圆上搞一步圆幂去把 \(T\) 消掉。

要去思考 \(A\) 对 \(\triangle KPQ\) 的外接圆的幂，其实最直接的想法就是去找 \(\triangle KPQ\) 的外心，然而不难发现这个外心真的是位置太好了，这玩意就是 \(A\) 关于 \(\triangle ABC\) 外心的对称点。

那么很快啊，我们就能写出来 \(AT\cdot AK = AO^2 - OK^2\)。要证明 \(KA\cdot KT = 2KB\cdot KC\)，我们只要证明两个式子加起来是成立的，就是只要证明 \(AT\cdot AK + KA\cdot KT = AO^2 - OK^2 + 2KB\cdot KC\)，即：

\[ AK^2 = AO^2 - OK^2 + 2KB\cdot KC \]

进一步发现 \(KB\cdot KC\) 是 \(K\) 对 \(\triangle ABC\) 的外接圆的幂，就是 \(KR^2 - RA^2\)，所以我们只要证明：

\[ AK^2 = AO^2 - OK^2 + 2(KR^2 - RA^2) \]

而上式在 \(\triangle AOK\) 中利用中线长公式显然成立，从而第一问证明完毕。

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第二问实际上在第一问基础上已经没东西了，我们直接考虑刚刚的四点共圆，这至少暗示了两对三角形相似，也就是 \(\triangle CKT \sim \triangle MKB\) 以及 \(\triangle MKC \sim \triangle BKT\)。这表明：

\[ \frac{CT}{CK} = \frac{BM}{MK}, \frac{BT}{BK} = \frac{CM}{MK} \]

两个式子除一下：

\[ \frac{CT}{BT}\cdot\frac{BP}{CQ} = \frac{CT}{BT}\cdot\frac{BK}{CK} = \frac{BM}{CM} = \frac{AE}{AD} = \frac{AP}{AQ} \]

这就证明完毕了。

Comment

感觉，不难，除了找 \(M\) 这个中间点把 \(\angle EAD\) 搞进去这一步想了一段时间之外就没怎么卡过。而且看到有两问的题目我直接先把第一问中间结论不证明，拿过来证明第二问，发现是平凡的之后这道题就索然无味了。

没用到什么复数、三角、反演等 fancy 的东西，感觉不如，联赛二试。